| Adjunta de una transformación lineal |
Definición (adjunta de una transformación lineal)
Cita Sean \( V \) y \( W \) espacios vectoriales con producto interno y \( T:V \to W \) una transformación lineal. Diremos que \( T^{*}: W \to V \) es una transformación adjunta de \( T \) sii verifica que:
$$ \left \langle T(v),w \right \rangle_{W} = \left \langle v, T^{*}(w) \right \rangle_{V}, \forall v \in V, \forall w \in W $$
Una transformación puede no tener adjunta.
Proposición I
Cita Sea \( V \) un espacio vectorial con producto interno. Si \( \left \langle v, w_{1} \right \rangle = \left \langle v, w_{2} \right \rangle, \forall v \in V \Rightarrow w_{1} = w_{2} \).
Ejemplo I: en \( \mathbb {R}^{3} \) con el producto interno habitual, se considera la transformación lineal \( T: \mathbb {R}^{3} \to \mathbb {R}^{3} \) definida como \( T(x,y,z) = (x-y+2·z,4·x-3·z,x+5·y+z) \). Calcular \( T^{*}: \mathbb {R}^{3} \to \mathbb {R}^{3} \).
Para esto, sólo basta con tomar la base canónica de \( \mathbb{R}^{3} : C = \left \{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \right \} \).
$$ \begin{align}
\left \langle (x,y,z), T^{*}(1,0,0) \right \rangle &= \left \langle T(x,y,z), (1,0,0) \right \rangle \\
&= x-y+2·z \\
&= \left \langle (x,y,z),(1,-1,2) \right \rangle, \forall (x,y,z) \\
&\overset{(I)}{\Rightarrow} \boxed {T^{*}(1,0,0) = (1,-1,2)}
\end{align} $$Ídem para los restantes vectores.
$$ \left\{\begin{matrix}
T^{*} (1,0,0) = (1,-1,2)\\
T^{*} (0,1,0) = (4,0,-3)\\
T^{*} (0,0,1) = (1,5,1)
\end{matrix}\right. $$Al tratarse de la base canónica, resulta muy fácil ver:
$$ T^{*} (x,y,z) = x·T^{*}(0,0,1) + y·T^{*}(0,1,0) + z· T^{*} (0,0,1) $$ $$\Rightarrow \boxed {T^{*} (x,y,z) = (x+4·y+z,-x+5·z,2·x-3·y+z)} $$
Ejemplo II: Se considera \( \mathbb {C}^{2} \) con el siguiente producto interno: $$ \left \langle (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}) \right \rangle = 4·x_{1}·\overline{y_{1}} + 9·x_{2}·\overline{y_{2}} $$Sea \( T: \mathbb {C}^{2} \to \mathbb {C}^{2} \) el operador lineal definido por \( T(x,y) = (2·i·x+y,-x-i·y) \). Hallar la adjunta de \( T \).
Resolución:
Consideramos una base de \( \mathbb {C}^{2} \) como lo es: \( B = \left \{ (1,0),(0,1) \right \} \overset{b}{\rightarrow} \mathbb {C}^{2} \). Sabemos que dicha base es ortogonal, pero no ortonormal; razón por la cual procedemos a ortonormalizarla (dividiendo cada vector por su norma). Obteniendo la base: \( B' = \left \{ (1/2,0),(0,1/3) \right \} \overset{bon}{\rightarrow} \mathbb {C}^{2} \).
Aplicamos la trasnformación a los elementos a la base.
$$ T(1/2,0) = (i,-1/2) = 2·i·(1/2,0)-3/2·(0,1/3) \rightarrow coord_{B'} (i,-1/2) = (2·i,-3/2) $$$$ T(0,1/3) = (1/3,-1/3·i) = 2/3·(1/2,0)-i·(0,1/3) \rightarrow coord_{B'} (1/3,-1/3·i) = (2/3,-i) $$
La matriz asociada en la base \( B' \):
$$ _{B'}(T)_{B'} = \begin{pmatrix} 2·i & 2/3 \\ -3/2 & -i \end{pmatrix} $$
Hallamos la matriz asociada a la adjunta:
$$ _{B'}(T^{*})_{B'} = _{B'}(\overline{T^{t}})_{B'} = \begin{pmatrix} -2·i & -3/2 \\ 2/3 & i \end{pmatrix} $$
Escribimos los vectores de la adjunta en la base \( B' \).
$$ T^{*} (1/2,0) = -2·i·(1/2,0) + 2/3·(0,1/3) = (-i,2/9) $$$$ T^{*} (0,1/3) = -3/2·(1/2,0) + i·(0,1/3) = (-3/4,i/3) $$
Ahora sólo nos basta hallar la transformación lineal, para lo cual usaremos la siguiente estrategia.
$$ \alpha·T^{*} (1/2,0) + \beta·T^{*} (0,1/3) = \alpha·(-i,2/9) + \beta·(-3/4,i/3) $$$$ \Rightarrow T^{*}(\alpha/2,\beta/3) = (-\alpha·i-3·\beta/4,2·\alpha/9+i·\beta/3) $$
Ahora realizamos el siguiente cambio de variable:
$$ \left\{\begin{matrix} x = \alpha/2 \\ y = \beta/3 \end{matrix}\right. $$
Obteniendo la transformación adjunta:
$$ T^{*} = (-2·i·x-9/4·y,4/9·x+i·y) $$
Propiedades del adjunto
1. Unicidad. Si \( T^{*} \) existe, entonces es único.
2. \( (T+S)^{*} = T^{*} + S^{*} \)
3. \( (\alpha·T)^{*} = \overline {\alpha}·T^{*} \)
4. \( (T\circ S)^{*} = S^{*}\circ T^{*} \)
5. \( T \) es invertible sii \( T^{*} \) lo es; y verifica que: \( (T^{*})^{-1} = (T^{-1})^{*} \)
6. \( (T^{*})^{*} = T \)
Definición (transformación lineal autoadjunta)
Cita Sea \( T:V \to V \) una transformación lineal, diremos que \( T \) es autoadjunta sii:
$$ \left \langle T(v), w \right \rangle = \left \langle v, T(w) \right \rangle, \forall v,w \in V $$
Es lo mismo que decir que \( T \) coincide con \( T^{*} \) (su adjunta).
Teorema
Cita Sea \( V \) un espacio vectorial real con producto interno, \( B \) una base ortonormal de \( V \) y \( T:V \to V \) lineal. Entonces:
$$ T \mbox { es autoadjunta} \Leftrightarrow _{B}(T)_{B} \mbox { es simétrica} $$
Definición (matriz hermítica)
Cita $$ A \in \mathcal {M}_{n \times n} (\mathbb {C}) \mbox { es hermítica} \Leftrightarrow A = (\overline {A})^{t} $$
Teorema
Cita Sea \( V \) un espacio vectorial complejo con producto interno, \( B \) una base ortonormal de \( V \) y \( T:V \to V \) una transformación lineal. Entonces:
$$ T \mbox { es autoadjunta} \Leftrightarrow _{B}(T)_{B} \mbox { es hermítica} $$
Teorema
Cita Sea \( V \) un espacio vectorial complejo con producto interno y \( T:V \to V \) una transformación lineal. Entonces:
$$ T \mbox { es autoadjunta} \Leftrightarrow \left \langle T(v), v \right \rangle \in \mathbb {R}, \forall v \in V $$
El anterior teorema no es válido si se considera el cuerpo \( \mathbb {R} \).
Teorema
Cita Sea \( V \) un espacio vectorial complejo con producto interno. Si \( T:V \to V \) es autoadjunta entonces todas las raíces del polinomio característico de \( T \) son reales.
Teorema
Cita Sea \( A \in \mathcal {M}_{n \times n} (\mathbb {C}) \). Si \( A \) es hermítica, entonces todas las raíces del polinomio característico de dicha matriz son reales.
Teorema
Cita Sea \( A \in \mathcal {M}_{n \times n} (\mathbb {R}) \). Si \( A \) es simétrica, entonces todas las raíces del polinomio característico de dicha matriz son reales.
Teorema
Cita Sea \( V \) un espacio vectorial real con producto interno. Si \( T:V \to V \) es autoadjunta entonces todas las raíces del polinomio característico de \( T \) son reales.
Teorema (teorema espectral para transformaciones autoadjuntas)
Cita Sea \( V \) un espacio vectorial real (o complejo), de dimensión finita. Si \( T:V \to V \) es una transformación lineal autoadjunta, entonces existe una base ortonormal de \( V \) formada por vectores propios de \( T \).
Teorema
Cita Si existe una base ortonormal \( B \) del espacio \( V \) formada por vectores propios y las raíces de \( \mathcal {X}_{T} \) son reales \( \Rightarrow T \) es autoadjunta.
Teorema (teorema espectral para matrices simétricas)
Cita $$ A \in \mathcal {M}_{n \times n} (\mathbb {R}) \mbox { es simétrica} \Rightarrow \mbox { es diagonalizable} $$ |
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