La idea detrás del desarrollo de Taylor de una determinada función, está en aproximarla como función polinómica. Esto facilita enormente el estudio de la función en sí, debido a la relativa facilidad del estudio analítico de los polinomios; pudiendo incluso levantar indeterminaciones de límites.
Enunciado (teorema de Taylor)
Cita Si $ f\in C^{\infty} $ entonces:
$$ P_{+\infty} (f(x),a) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac {f^{(k)}(a)·(x-a)^{k}}{k!} = \sum_{k=0}^{n} \frac {f^{(k)}(a)·(x-a)^{k}}{k!} + r_{n}(x) $$
Comentario: $ f^{(k)}(a) $ se entiende como la derivada $k$-ésima evaluada en $ x = a $. Y por convención se toma que $ f^{(0)}(a) = f(a) $.
Enunciado (teorema del resto de Lagrange)
El resto $ r_{n}(x) $ del polinomio aproximado de Taylor se puede calcular mediante el teorema del resto de Lagrange.
Cita Si $ f\in C^{n+1} $ entonces:
$$ r_{n}(x) = \frac {f^{(n+1)}( c )·(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \mbox { donde } c \in [a,x] $$
Ejemplo I: Hallar el polinomio de Taylor de grado $n$ en $ x=0 $ de $ f(x) = e^{x} $.
$$ P_{n} (e^x,0) = 1 + x + \frac {x^2}{2} + \cdots + \frac {x^{n}}{n!} = \sum_{k=0}^{n} \frac {x^{k}}{k!} $$A continuación demostraremos por inducción completa que efectivamente el anterior es el desarrollo de Taylor de orden $n$ de $f(x)=e^x $ en $ x=0 $.
Ejemplo II: Calcular el límite: $ \lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\mbox{sen}{(\tan(x))}-\tan{(\mbox{sen}(x))}}{x^7} $
Ejemplo III: Calcular $ e^{0,1} $ con un error menor que $ 0,001 $.
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