En álgebra lineal, el estudio de las isometrías vectoriales está destinado a comprender el comportamiento de determinadas transformaciones lineales.
Por definición, una isometría es una función que conserva las distancias. A partir de esto, se obtienen las siguientes isometrías: traslación, rotación y simetría. De estas tres funciones, la primera no es una transformación lineal (pues una traslación es una función de la forma \( T(x,y) = (x+k_{1},y+k_{2}) \) donde \( k_{i} \in \mathbb {R} \)), por esta razón, nos abocaremos al estudio de las rotaciones y simetrías en \( \mathbb {R}^2 \) y \( \mathbb {R}^3 \), únicamente.
Definición
Cita \( T:V \to V \) transformación lineal es una isometría sii \( T \) es ortogonal.
Isometrías en \( \mathbb {R}^2 \)
· Rotación
Si la matriz asociada a \( T \) en una base ortonormal es de la forma tipo:
$$ _{A}(T)_{A} = \begin{pmatrix} \cos (\theta) & -\mbox {sen} (\theta) \\ \mbox{sen} (\theta) & \cos (\theta) \end{pmatrix} $$Entonces \( T \) es una rotación de ángulo \( \theta \) y de centro en el origen.
Cita Proposición \( T: \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R}^2 \) transformación lineal, es una rotación sii \( \det (T) = 1 \). Demostración $$ \det (T) = \det (_{A}(T)_{A}) = \begin{vmatrix} \cos (\theta) & -\mbox {sen} (\theta) \\ \mbox{sen} (\theta) & \cos (\theta) \end{vmatrix} = \cos^2 (\theta) + \mbox {sen}^2 (\theta) = 1 \quad \square $$
· Casos particulares
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \mbox {Movimiento} & \mbox {Ángulo} & \mbox {Matriz asociada} \\ \hline \mbox {Identidad} & 0 & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \hline \mbox {Simetría central} & \pi & \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ \hline \end{array} $$
· Simetría axial
Si la matriz asociada a \( T \) en una base ortonormal es de la forma tipo:
$$ _{A}(T)_{A} = \begin{pmatrix} \cos (\theta) & \mbox {sen} (\theta) \\ \mbox{sen} (\theta) & -\cos (\theta) \end{pmatrix} $$Entonces \( T \) es una simetría axial.
Cita Proposición \( T: \mathbb {R}^2 \to \mathbb {R}^2 \) transformación lineal, es una simetría axial sii \( \det (T) = -1 \). Demostración $$ \det (T) = \det (_{A}(T)_{A}) = \begin{vmatrix} \cos (\theta) & \mbox {sen} (\theta) \\ \mbox{sen} (\theta) & -\cos (\theta) \end{vmatrix} = -\cos^2 (\theta) - \mbox {sen}^2 (\theta) = -1 \quad \square $$
Isometrías en \( \mathbb {R}^3 \)
Las isometrías en el espacio, son un tanto más complejas que identificar que las del plano. A continuación, veremos dos métodos "distintos" para determinar el tipo de isometría en \( \mathbb {R}^3 \).
De aquí en más, \( A = _B(T)_B \).
· Primer método: estudiando los valores propios (autovalores) de \( T \)
1. Si \( \det (A) = 1 \) entonces la matriz \( A \) es de la forma:
(a) \( A = I \), la isometría \( T \) es la identidad (\( A \) tiene los valores propios: \( MA (1) = 3 \)).
(b) \( A \) tiene los valores propios: \( MA (1) = 1, MA (-1) = 2 \). Entonces \( T \) es una simetría axial respecto a la recta \( S_{1} \) (subespacio propio asociado al valor propio \( \lambda = 1 \)). El plano \( S_{-1} \) es un subespacio invariante.
(c) \( A \) tiene los valores propios: \( MA (1) = 1 \), y los restantes dos valores propios son complejos. En este caso \( T \) es una rotación de ángulo \( \theta : \mbox{tr} (A) = 1 + 2·\cos (\theta) \) al rededor del eje de vectores invariantes \( S_{1} \). Algunos ejemplos:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline \mbox {Matriz asociada} & \mbox {Eje de simetría} \\ \hline \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\theta) & -\mbox{sen}(\theta) \\ 0 & \mbox{sen} (\theta) & \cos (\theta) \end{pmatrix} & \mbox {Eje }O \vec x \\ \hline \begin{pmatrix} \cos (\theta) & 0 &-\mbox{sen}(\theta) \\ 0 & 1 & 0 \\ \mbox{sen} (\theta) & 0 & \cos (\theta)\end{pmatrix} & \mbox {Eje }O \vec y \\ \hline \begin{pmatrix} \cos (\theta) & -\mbox{sen}(\theta) & 0 \\ \mbox{sen} (\theta) & \cos (\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} & \mbox {Eje }O \vec z \\ \hline \end{array} $$
2. Si \( \det (A) = -1 \) entonces la matriz \( A \) es de la forma:
(a) \( A \) tiene los valores propios: \( MA (1) = 2, MA (-1) = 1 \). Se trata de una simetría respecto del plano de vectores invariantes \( S_{1} \).
(b) \( A \) tiene los valores propios: \( MA (-1) = 3 \). En este caso la isometría \( T \) es una simetría central (respecto al origen).
(c) \( A \) tiene los valores propios: \( MA (-1) = 1 \) y dos valores propios complejos conjugados. En este caso la isometría \( T \) es una composición de una rotación (de ángulo \( \theta : \mbox{tr} (A) = -1 + 2·\cos (\theta) \)) y una simetría.
· Segundo método: estudiando la matriz asociada a \( T \) en una base ortonormal
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