Método de ortonormalización de Gram-Schmidt

Mathematium

En álgebra lineal, el método de ortonormalización de Gram-Schmidt, llamado así en honor a Jørgen Pedersen Gram (1850-1916) y Erhard Schmidt (1876-1959); es un algoritmo que permite construir siempre, un base ortonormal de vectores, a partir de otra cualquiera, con la particularidad de que ambas generan el mismo subespacio vectorial.

Teorema (el algoritmo)

Cita

Observaciones

· Si se intenta ortogonalizar una base ortogonal, el proceso devuelve la misma base.
· Para obtener una base ortonormal luego de aplicar este método, sólo basta dividir cada vector por su norma. Es decir, el conjunto $ U' = \left \{ \frac {u_{1}}{\left \| u_{1} \right \|}, ..., \frac {u_{n}}{\left \| u_{n} \right \|} \right \} \overset{bon}{\rightarrow} V $.

Ejemplo I: Sea $ \mathbb {R}_{2} [x] $ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2, con el producto interno: $ \left \langle p(x), g(x) \right \rangle = p(0)·g(0) + p(-1)·g(-1) + p(1)·g(1) $. Hallar una base ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio que $ W = [1,x^2] $.

Inmediatamente se ve que $ u_{1} = 1 $ ya que $ v_{1} = u_{1} $.

Tomando $ v_{2} = x^2 $ se pretende hallar $ u_{2} $:
$$ u_{2} = x^2 - \sum_{k=1}^{1} \frac {\left \langle 1, x^2 \right \rangle}{\left \langle 1,1 \right \rangle}\cdot 1 \overset{*}{=} x^2 - \frac {2}{3} $$
* Debe tenerse en cuenta:
$$ \left\{\begin{matrix}
\begin{align}
\left \langle 1,x^2 \right \rangle =& 1·0 + 1·1 + 1·1 = 2 \\
\left \langle 1,1 \right \rangle =& 1·1 + 1·1 + 1·1 = 3
\end{align}
\end{matrix}\right. $$

De esta forma, se tiene que $ W' = \left [ 1, x^2 - \frac {2}{3} \right ] $.

Se deja como ejercicio al lector, verificar que efectivamente $ W' $ forma un conjunto ortonormal.

Método no-recursivo

Hasta el momento hemos visto una forma recursiva para la construcción de una base ortonormal. Sin embargo, una forma más efectiva para lo mismo, puede ser a través del siguiente método.

Cita

Sea $ V $ un espacio vectorial de dimensión finita y con producto interno. Se considera un base $ B = \left \{ v_{1}, ..., v_{n} \right \} \overset{b}{\rightarrow} V $. Entonces existe $ U = \left \{ u_{1}, ..., u_{n} \right \} \overset{bo}{\rightarrow} V $ que verifica que: $ [ B ] = [U] $. Y además se tiene que:
$$ \begin{align}
u_{1} =& \mbox { } v_{1} \\
{u}_k =& \mbox { } \frac{1}{D_{k-1} } \cdot \begin{vmatrix} \langle {v}_1, {v}_1 \rangle & \langle {v}_2, {v}_1 \rangle & \dots & \langle {v}_k, {v}_1 \rangle \\ \langle {v}_1, {v}_2 \rangle & \langle {v}_2, {v}_2 \rangle & \dots & \langle {v}_k, {v}_2 \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle {v}_1, {v}_{k-1} \rangle & \langle {v}_2, {v}_{k-1} \rangle & \dots & \langle {v}_k, {v}_{k-1} \rangle \\ {v}_1 & {v}_2 & \dots & {v}_k \end{vmatrix}, \forall k = 2,...,n
\end{align} $$

Donde $ D_{i} $ es el determinante de Gram; que se lo define como: 1 si $ i = 0 $, y si $ i > 1 $ entonces:
$$ D_i = \begin{vmatrix}
\langle {v}_1, {v}_1 \rangle & \langle {v}_2, {v}_1 \rangle & \dots & \langle {v}_i, {v}_1 \rangle \\
\langle {v}_1, {v}_2 \rangle & \langle {v}_2, {v}_2 \rangle & \dots & \langle {v}_i, {v}_2 \rangle \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\langle {v}_1, {v}_i \rangle & \langle {v}_2, {v}_i\rangle & \dots &
\langle {v}_i, {v}_i \rangle \end{vmatrix} $$
Ejemplo II: Sea $ V = \mathbb {R}^3 $, bajo el producto interno usual de dicho espacio vectorial. Y sea $ A = \left \{ (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) \right \} \overset{b}{\rightarrow} V $. Hallar una base ortonormal de $ V $, a partir de $ A $.

Tenemos que $ v_{1} = u_{1} = (1,0,0) $.

Tomando $ v_{2} = (1,1,0) $ se pretende hallar $ u_{2} $:
$$ u_{2} = \frac {1}{D_{1}}· \begin{vmatrix} \left \langle v_{1}, v_{1} \right \rangle & \left \langle v_{2}, v_{1} \right \rangle \\ v_{1} & v_{2} \end{vmatrix} \overset{*}{=} 1· \begin{vmatrix} \left \langle v_{1}, v_{1} \right \rangle & \left \langle v_{2}, v_{1} \right \rangle \\ v_{1} & v_{2} \end{vmatrix} = (0,1,0) $$
* Notar que:
$$ D_{1} = \begin{vmatrix}
\left \langle v_{1}, v_{1} \right \rangle & \left \langle v_{2}, v_{1} \right \rangle \\
\left \langle v_{1}, v_{2} \right \rangle & \left \langle v_{2}, v_{2} \right \rangle
\end{vmatrix} $$
Y haciendo cuentas, veremos que en este caso: $ D_{1} = 1 $. No siempre es así, se debe estudiar cada caso aisladamente.

Análogamente hallamos $ u_{3} $:
$$ u_{3} = \frac {1}{D_{2}}· \begin{vmatrix} \left \langle v_{1}, v_{1} \right \rangle & \left \langle v_{2}, v_{1} \right \rangle & \left \langle v_{3}, v_{1} \right \rangle \\
\left \langle v_{1}, v_{2} \right \rangle & \left \langle v_{2}, v_{2} \right \rangle & \left \langle v_{3}, v_{2} \right \rangle\\
v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{vmatrix} \overset{*}{=} 1· \begin{vmatrix} \left \langle v_{1}, v_{1} \right \rangle & \left \langle v_{2}, v_{1} \right \rangle & \left \langle v_{3}, v_{1} \right \rangle \\
\left \langle v_{1}, v_{2} \right \rangle & \left \langle v_{2}, v_{2} \right \rangle & \left \langle v_{3}, v_{2} \right \rangle\\
v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{vmatrix} = (0,0,1) $$
* Notar que:
$$ D_{1} = \begin{vmatrix}
\left \langle v_{1}, v_{1} \right \rangle & \left \langle v_{2}, v_{1} \right \rangle & \left \langle v_{3}, v_{1} \right \rangle \\
\left \langle v_{1}, v_{2} \right \rangle & \left \langle v_{2}, v_{2} \right \rangle & \left \langle v_{3}, v_{2} \right \rangle \\
\left \langle v_{1}, v_{3} \right \rangle & \left \langle v_{2}, v_{3} \right \rangle & \left \langle v_{3}, v_{3} \right \rangle
\end{vmatrix} $$
Y haciendo cuentas, veremos que en este caso: $ D_{2} = 1 $. No siempre es así, se debe estudiar cada caso aisladamente.

De esta forma obtenemos que $ A' = \left \{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \right \} $.

Nuevamente, se deja como ejercicio para el lector, el verificar que hemos llegado a una base ortonormal de $ \mathbb {R}^3 $ (conocida como base canónica de este espacio). Además, se alienta a verificar que por tanto este método, como por el recursivo, se llega al mismo resultado.

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