Enunciado
Cita Si el polinomio \( a_{n}·x^{n} + ... + a_{0}, a_{i} \in \mathbb {R}, \forall i = \left \{ 0,...,n \right \} \) tiene todas las raíces reales, entonces la cantidad \( p \) de raíces positivas es igual a la cantidad de cambios de signos de la secuencia, donde los ceros no se toman en cuenta.
Demostración
Pendiente.
Ejemplo I: Discutir según \( a \in \mathbb {R} \) la naturaleza de las raíces del polinomio \( -\lambda^3 + 2·\lambda^2 + a^2·\lambda - a^2 \), sabiendo que todas sus raíces son reales.
Tenemos dos casos bien distinguidos. Si \( a = 0 \) entonces el polinomio nos queda de la forma \( -\lambda^3 + 2·\lambda^2 = \lambda^2·(-\lambda+2) \) que posee dos raíces nulas y una positiva.
Ahora estudiemos el caso que \( a \neq 0 \). Notemos que \( a^2 > 0, \forall a \in \mathbb {R}^{*} \) esto implica que hay necesaria e independientemente de los valores (no nulos) de \( a \), dos cambios de signos; por el teorema de Descartes afirmaremos que posee dos raíces positivas. Como \( a \neq 0 \) entonces no tiene raíces nulas, y como sabemos que todas sus raíces son reales y es un polinomio de tercer grado con dos raíces positivas, inferiremos que tiene una raíz negativa.
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