Definición
Cita Sea $ A $ un conjunto no vacío y $ \mathcal{R} $ una relación binaria definida sobre $ A $. Se dice que $ \mathcal{R} $ es una relación de equivalencia si y sólo si $ \mathcal{R} $ es reflexiva (o idéntica), simétrica y transitiva.
Ejemplo I: En $ \mathbb {R} $ se define la relación $ a\mathcal{R} b \Leftrightarrow a^2 - b^2 = a - b $. Demostrar que es de equivalencia.
Para demostrar que $ \mathcal{R} $ es de equivalencia, debemos demostrar que la relación es reflexiva, simétrica y transitiva.
· Reflexiva: $ a \mathcal{R} a \Leftrightarrow a^2 - a^2 = a - a = 0 $.
· Simétrica: $ a \mathcal{R} b \Leftrightarrow a^2 - b^2 = a - b \overset{·(-1)}{\Rightarrow} b^2 - a^2 = b - a \Leftrightarrow b \mathcal{R} a $.
· Transitiva: $ \left.\begin{matrix}
a \mathcal{R} b \Leftrightarrow a^2 - b^2 = a - b \\
b \mathcal{R} c \Leftrightarrow b^2 - c^2 = b - c
\end{matrix}\right\} \overset{+}{\Rightarrow} a^2 - c^2 = a - c \Leftrightarrow a \mathcal{R} c $
Por lo anterior concluiremos que $ \mathcal{R} $ es una relación de equivalencia.
Definición
Cita Sea $ A $ un conjunto no vacío y $ \mathcal{R} $ una relación binaria definida sobre $ A $, y $ a \in A $. Se llama clase de equivalencia asociada al elemento $ a $, al conjunto:
$$ [a] = \left \{ x \in A : x \mathcal{R} a \right \} $$
Es decir, la clase de equivalencia de un elemento, es el conjunto conformado por todos los elementos que están relacionados con éste.
Propiedades
1. Si $ a \mathcal{R} b \Rightarrow [a] = [ b ], \forall a,b \in A $.
2. Si $ a \not\mathcal{R} b \Rightarrow [a] \cap [ b ] = \varnothing, \forall a,b \in A $.
3. $ \bigcup_{a \in A}[a] = A $.
En base a las anteriores propiedades no es difícil inferir la siguiente proposición.
Proposición
Cita Toda relación de equivalencia determina una partición y toda partición determina una relación de equivalencia.
Definición
Cita Sea $ A $ un conjunto no vacío y $ \mathcal{R} $ una relación binaria definida sobre $ A $. Se llama conjunto cociente de $ A $ determinado por $ \mathcal{R} $ al conjunto:
$$ A / \mathcal{R} = \left \{ [a]:a\in A \right \} $$
Ejemplo II: En $ \mathbb {Z} $ se define la relación de equivalencia $ x \mathcal{R} y \Leftrightarrow 2|(x^2 + y^2) $. Estudiar las clases de equivalencia: $ [0],[1],[2] $.
$$ \begin{align*}
[0] &= \left \{ x \in \mathbb {Z} : x \mathcal{R} 0 \right \} \\
&= \left \{ x \in \mathbb {Z} : 2|x^2 \right \} \\
&= \left \{ x \in \mathbb {Z} : x = \dot{2} \right \} \\
\end{align*} $$$$ \begin{align*}
[1] &= \left \{ x \in \mathbb {Z} : x \mathcal{R} 1 \right \} \\
&= \left \{ x \in \mathbb {Z} : 2|(x^2 + 1) \right \} \\
&= \left \{ x \in \mathbb {Z} : x \neq \dot{2} \right \} \\
\end{align*} $$$$ \begin{align*}
[2] &= \left \{ x \in \mathbb {Z} : x \mathcal{R} 2 \right \} \\
&= \left \{ x \in \mathbb {Z} : 2|(x^2 + 2) \right \} \\
&= \left \{ x \in \mathbb {Z} : x = \dot{2} \right \} \\
\end{align*} $$
Notar que $ [0] = [2] $. Además, $ [0] \cup [1] = \mathbb {Z} $ por lo cual concluimos que: $ \mathbb {Z} / \mathcal {R} = \left \{ [0],[1] \right \} $.
|