| Teorema de representación de Riesz |
Enunciado
Cita Dada \( T:V \to \mathbb {K} \) lineal, y \( V \) tal que si \( M \) es un subespacio de \( V \), se cumple que \( V = M \oplus M^{\perp} \), entonces existe un único \( w \in V \) tal que \( T(v) = \left \langle v,w \right \rangle \).
Demostración
Lema: Sea \( V \) un espacio vectorial con producto iterno. Si \( \left \langle v,w_{1} \right \rangle = \left \langle v,w_{2} \right \rangle, \forall v \in V \Rightarrow w_{1} = w_{2} \).
Del resultado anterior se deduce que si existe un tal \( w \) con esas propiedades, el mismo es único. Si \( T = 0 \) entonces basta elegir \( w = 0 \). En otro caso, consideraremos:
$$ M = N(T) = \left \{ x \in V: T(x) = 0 \right \} $$Entonces \( V = M \oplus M^{\perp} \) por lo tanto \( M^{\perp} \) no es vacío. Elegimos un vector no nulo \( z \in M^{\perp} \), multiplicando por un escalar adecuado obtenemos \( T(z) = 1 \).
Para cualquier \( x \in V \) tenemos que:
$$ x = (x-T(x)·z) + T(x)·z $$El primer término a la derecha está en \( M \) y el segundo en \( M^{\perp} \). Tomando el producto a ambos lados obtenemos:
$$ \left \langle x,z \right \rangle = \left \langle T(x)·z,z \right \rangle = T(x)·\left \| z \right \|^{2} $$Por lo tanto basta elegir:
$$ w = \frac {1}{\left \| z \right \|^2}·z $$que cumple lo requerido. \( \quad \square \)
Ejemplo I: Sea \( V \) un espacio vectorial con producto interno usual y la transformación lineal \( T: \mathbb {R}^{3} \to \mathbb {R} \) que cumple que: \( T(1,0,0) = 2, T(0,1,0) = 1, T(0,0,1) = -1 \). Hallar el representante de Riesz de \( T \).
El representante Riesz, es un vector \( w \in V \) que cumple que \( T(v) = \left \langle v,w \right \rangle \). Para esto, nos definimos un \( w = (x,y,z) \). Entonces:
$$ \left\{\begin{matrix}
T(1,0,0) = \left \langle (1,0,0), (x,y,z) \right \rangle \Rightarrow x = 2\\
T(0,1,0) = \left \langle (0,1,0), (x,y,z) \right \rangle \Rightarrow y = 1\\
T(0,0,1) = \left \langle (0,0,1), (x,y,z) \right \rangle \Rightarrow z = -1
\end{matrix}\right. \Rightarrow \boxed {w = (2,1,-1)} $$
Ejemplo II: Sea la transformación lineal \( T:\mathbb {R}_{1} [x] \to \mathbb {R} \) definida como \( T(p) = p(\xi) \) donde \( \xi \in \mathbb {R} \) es un escalar fijo. Si se considera el producto interno usual de los polinomios, hallar el representante de Riesz de \( T \).
Consideramos una base de los polinomios de \( \mathbb {R}_1 [x] \) como puede ser: \( B = \left \{ 1,t \right \} \). Como no es una base ortonormal, procederemos a ortonormalizarla, obteniendo: \( B' = \left \{ 1, \sqrt {12}·(t-1/2) \right \} \overset{bon}{\rightarrow} V \). (Véase el método de ortogonalización de Gram-Schmidt).
Aplicando la transformación lineal a esta base, obtenemos:
$$ \left\{\begin{matrix} T(1) = 1\\ T(\sqrt {12}·(t-1/2)) = \sqrt {12}·(\xi-1/2) \end{matrix}\right. $$
Por otro lado, aplicamos la definición de Riesz sobre ambos vectores; para esto, nos tomaremos un vector genérico \( \alpha·t + \beta \):
$$ \left\{\begin{matrix} T(1) = \left \langle 1, \alpha·t + \beta \right \rangle = \frac {1}{2}·\alpha + \beta \\ T(\sqrt {12}·(t-1/2)) = \left \langle \sqrt {12}·(t-1/2), \alpha·t + \beta \right \rangle = \alpha·\left ( \frac {1-\sqrt {3}}{\sqrt {3}} \right ) + \beta·\sqrt {3} \end{matrix}\right. $$
De las anteriores igualdades, deducimos el siguiente sistema de ecuaciones:
$$ \left\{\begin{matrix} 1 = 1/2·\alpha + \beta \\ \sqrt {12}·(\xi - 1/2) = \alpha·\left ( \frac {1-\sqrt {3}}{\sqrt {3}} \right ) + \beta·\sqrt {3} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha = \frac {12·\sqrt {3}·(1-\xi)}{6+\sqrt {3}} \\ \beta = \frac {6·\sqrt {3}·(\xi-1)}{6+\sqrt {3}} + 1 \end{matrix}\right. $$
De aquí obtenemos que el representante de Riesz de \( T \) es \( w = \left ( \frac {12·\sqrt {3}·(1-\xi)}{6+\sqrt {3}} \right )·t + \frac {6·\sqrt {3}·(a-1)}{6+\sqrt {3}} + 1 \).
Se deja como ejercicio al lector, verificar que \( w \) es efectivamente el representante de Riesz de \( T \).
Hasta el momento hemos visto cómo hallar el representante de Riesz a partir de la definición. Sin embargo, existen formas más sencillas. A continuación veremos alguna.
Método alternativo I: para el cálculo del representante de Riesz
Cita Sea \( V \) un \( \mathbb {K} \) espacio vectorial con producto interno. Sea la transformación lineal \( T: V \to V \), y \( B = \left \{ e_{1}, ..., e_{n} \right \} \overset{bon}{\rightarrow} V \), entonces:
$$ w = \overline{T(e_{1})}·e_{1} + ... + \overline{T(e_{n})}·e_{n} $$
Ejemplo III: En \( \mathbb {C}_{2} [x] \) se consideran el producto interno \( \left \langle p,q \right \rangle = p(1)·\overline{q(1)} + p(0)·\overline{q(0)} + p(-1)·\overline{q(-1)} \), y la transformación lineal \( T: \mathbb {C}_{2} [x] \to \mathbb {C} \) definida por \( T(p) = p(1+i) \). Hallar el representante de Riesz de \( T \).
Nos tomamos una base cualquiera del espacio, por ejemplo: \( B = \left \{ 1,x,x^2 \right \} \), sin embargo no es una base ortonormal, por esta razón la ortonormalizaremos. \( B' = \left \{ \frac {1}{\sqrt{3}}, \frac {1}{\sqrt {2}}·x, \sqrt {\frac {3}{2}}·\left ( x^2-\frac {2}{3} \right ) \right \} \overset{bon}{\rightarrow} V \). (Véase el método de ortogonalización de Gram-Schmidt).
Aplicando la anterior fórmula, resulta en:
$$ w = \overline {T\left ( \frac {1}{\sqrt {3}} \right )}·\frac {1}{\sqrt {3}} + \overline {T\left ( \frac {1}{\sqrt {2}}·x \right )}·\frac {1}{\sqrt {2}}·x + \overline {T\left (\sqrt {\frac {3}{2}}·\left ( x^2 - \frac {2}{3} \right ) \right )}·\sqrt {\frac {3}{2}}·\left ( x^2 - \frac {2}{3} \right ) = $$ $$= x^2·(-1-3·i) + x·\left ( \frac {1-i}{2} \right ) + (1+2·i) $$
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