En combinatoria, el teorema multinomial es una generalización del teorema del binomio; permitiendo calcular el coeficiente de polinomios elevados a un exponente natural.
Enunciado
Cita Para cualquier entero $m $ y cualquier entero no negativo $n $, se verifica que: $$ (x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} \prod_{1\le t\le m}x_{t}^{k_{t}}\,, $$
Ejemplo 1: Hallar el coeficiente de $ x^5 $ en el desarrollo de $ (x^5 + x -1)^{10} $.
Debemos hallar $a,c,b \in \mathbb {N} $ que verifiquen que $ a + b + c = 10 $, y además $ (x^5)^a·(x)^b·(-1)^c = k·x^5 $ donde $ k \in \mathbb {R} $ y cuyo valor calcularemos.
Veremos que esto sólo se cumple si: $ a=1, b=0, c=9 $ lo cual implica que el coeficiente buscado es -10. Y la otra opción que tenemos es si $ a=0,b=5,c=5 $; en este caso, el coeficiente buscado es $-252$. Entonces, el coeficiente de $ x^5 $ es -262.
Ejemplo 2: Hallar el coeficiente de $ x^3 $ en el desarrollo de $ \left (\frac {1}{1-x} \right )^4 $.
Recordamos que $ \frac {1}{1-x} $ es la función generatriz de la serie $ \sum_{n=0}^{+\infty} x^{n} $. De esta forma, se nos está pidiendo calcular el coeficiente de $ x^3 $ en el desarrollo de $ (1+x+x^2+\cdots)^4 $. Este problema lo podemos resolver de forma análoga al anterior.
Notemos que el coeficiente de $ x^3 $ en el desarrollo de $ (1+x+x^2+\cdots)^4 $ es el mismo que en $ (1+x+x^2+x^3)^4 $. De esta forma hemos reducido el problema ad infinitum a uno finito.
Debemos ver de cuántas maneras podemos obtener un término de $ x^3 $. Es decir, debemos hallar los $ a,b,c,d \in \mathbb {N} $ tales que $ a+b+c+d=4 $, y que además verifiquen que: $ (1)^a·(x)^b·(x^2)^c·(x^3)^d = k·x^3 $ donde $ k \in \mathbb {R} $ y cuyo valor debemos calcular.
Veremos que esto sólo se cumple si: · $ a=3,b=0,c=0,d=1 \rightarrow \frac {4!}{3!·0!·0!·1!} = 4 $ · $ a=2,b=1,c=1,d=0 \rightarrow \frac {4!}{2!·1!·1!·0!} = 12 $ · $ a=1,b=3,c=0,d=0 \rightarrow \frac {4!}{1!·3!·0!·0!} = 4 $
Entonces el coeficiente de $ x^3 $ es $ 4 + 12 + 4 = 20 $.
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